
Sistem bilangan biner atau
sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan
menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan
oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan
dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita
dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini
juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan
biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte. Dalam istilah
komputer, 1 Byte = 8 bit.
Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII, American
Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1
Byte.
Bilangan desimal yang
dinyatakan sebagai bilangan biner akan berbentuk sebagai berikut:
Desimal Biner (8 bit)
0 0000 0000
1 0000 0001
2 0000 0010
3 0000 0011
4 0000 0100
5 0000 0101
6 0000 0110
7 0000 0111
8 0000 1000
9 0000 1001
10 0000 1010
11 0000 1011
12 0000 1100
13 0000 1101
14 0000 1110
15 0000 1111
16 0001 0000
20=1
21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
26=64
dst
contoh: mengubah bilangan desimal menjadi biner desimal = 10.
berdasarkan referensi diatas yang mendekati bilangan 10 adalah 8 (23),
selanjutnya hasil pengurangan 10-8 = 2 (21). sehingga dapat dijabarkan seperti
berikut:
10 = (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20).
Dari perhitungan di atas bilangan biner dari 10 adalah 1010
dapat juga dengan cara lain yaitu 10 : 2 = 5 sisa 0 (0 akan menjadi angka
terakhir dalam bilangan biner), 5(hasil pembagian pertama) : 2 = 2 sisa 1 (1
akan menjadi angka kedua terakhir dalam bilangan biner), 2(hasil pembagian
kedua): 2 = 1 sisa 0(0 akan menjadi angka ketiga terakhir dalam bilangan
biner), 1 (hasil pembagian ketiga): 2 = 0 sisa 1 (0 akan menjadi angka pertama
dalam bilangan biner) karena hasil bagi sudah 0 atau habis, sehingga bilangan
biner dari 10 = 1010 atau dengan cara
yang singkat 10:2=5(0),5:2=2(1),2:2=1(0),1:2=0(1)sisa hasil bagi dibaca dari
belakang menjadi 1010.
Format
bilangan komputer
Didalam dunia komputer kita
mengenal empat jenis bilangan, yaitu bilang biner, oktal, desimal dan
hexadesimal. Bilangan biner atau binary digit (bit) adalah bilangan yang
terdiri dari 1 dan 0. Bilangan oktal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6 dan 7.
Sedangkan bilangan desimal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9. Dan bilangan
hexadesimal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E dan F.
Biner Oktal Desimal Hexadesimal:
0000 0 0 0
0001 1 1 1
0010 2 2 2
0011 3 3 3
0100 4 4 4
0101 5 5 5
0110 6 6 6
0111 7 7 7
1000 10 8 8
1001 11 9 9
1010 12 10 A
1011 13 11 B
1100 14 12 C
1101 15 13 D
1110 16 14 E
1111 17 15 F
Konversi Antar Basis Bilangan
Sudah dikenal, dalam bahasa
komputer terdapat empat basis bilangan. Keempat bilangan itu adalah biner,
oktal, desimal dan hexadesimal. Keempat bilangan itu saling berkaitan satu sama
lain. Rumus atau cara mencarinya cukup mudah untuk dipelajari. Konversi dari
desimal ke non-desimal, hanya mencari sisa pembagiannya saja. Dan konversi dari
non-desimal ke desimal adalah: 1. Mengalikan bilangan dengan angka basis
bilangannya. 2. Setiap angka yang bernilai satuan, dihitung dengan pangkat NOL
(0). Digit puluhan, dengan pangkat SATU (1), begitu pula dengan digit ratusan,
ribuan, dan seterusnya. Nilai pangkat selalu bertambah satu point.
Konversi
Desimal ke Biner
Konversi dari bilangan desimal
ke biner, dengan cara pembagian, dan hasil dari pembagian itulah yang menjadi
nilai akhirnya. Contoh: 10 (10) = …… (2) Solusi: 10 dibagi 2 = 5, sisa = 0. 5
dibagi 2 = 2, sisa = 1. 2 dibagi 2 = 1, sisa = 0. Cara membacanya dimulai dari
hasil akhir, menuju ke atas, 1010.
Konversi
Biner ke Oktal
Metode konversinya hampir
sama. Cuma, karena pengelompokkannya berdasarkan 3 bit saja, maka hasilnya
adalah: 1010 (2) = …… (8) Solusi: Ambil tiga digit terbelakang dahulu. 010(2) =
2(8) Sedangkan sisa satu digit terakhir, tetap bernilai 1. Hasil akhirnya
adalah: 12.
Konversi
Biner ke Hexadesimal
Metode konversinya hampir sama
dengan Biner ke Oktal. Namun pengelompokkannya sejumlah 4 bit. Empat kelompok
bit paling kanan adalah posisi satuan, empat bit kedua dari kanan adalah
puluhan, dan seterusnya. Contoh: 11100011(2) = …… (16) Solusi: kelompok bit
paling kanan: 0011 = 3 kelompok bit berikutnya: 1110 = E Hasil konversinya adalah:
E3(16).
Konversi
Biner ke Desimal
Cara atau metode ini sedikit
berbeda. Contoh: 10110(2) = ……(10) diuraikan menjadi:
(1×24)+(0×23)+(1×22)+(1×21)+(0×20) = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22 Angka 2 dalam
perkalian adalah basis biner-nya. Sedangkan pangkat yang berurut, menandakan
pangkat 0 adalah satuan, angkat 1 adalah puluhan, dan seterusnya.
Konversi Oktal ke Biner
Sebenarnya, untuk konversi
basis ini, haruslah sedikit menghafal tabel konversi utama yang berada di
halaman atas. Namun dapat dipelajari dengan mudah. Dan ambillah tiga biner
saja. Contoh: 523(8) = …… (2) Solusi: Dengan melihat tabel utama, didapat
hasilnya adalah: 3 = 011 2 = 010 5 = 101 Pengurutan bilangan masih berdasarkan
posisi satuan, puluhan dan ratusan. Hasil: 101010011(2)
PENJUMLAHAN
dalam BINER
Seperti bilangan desimal, bilangan
biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati
adalah aturan pasangan digit biner berikut :
0
+ 0 = 0
0
+ 1 = 1
1
+ 0 = 1
1
+ 1 = 0 Ă menyimpan 1
sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah
:
1 + 1 + 1 = 1 Ă dengan menyimpan 1
Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan pada
slide sebelumnya, kita dapat melakukan penjumlahan biner seperti ditunjukkan di
bawah ini :
1 1111
--> “simpanan 1” ingat kembali aturan di atas
01011011 --> bilangan biner
untuk 91
01001110 --> bilangan biner
untuk 78
------------+
10101001 --> Jumlah dari 91 +
78 = 169
Kita akan menghitung penjumlahan biner yang terdiri dari
5 bilangan:
11101 bilangan
1)
10110 bilangan
2)
1100 bilangan 3)
11011 bilangan
4)
1001 bilangan 5)
-------------------- +
Untuk menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan
yang berlaku, dan untuk lebih mudahnya perhitungan dilakukan bertahap
11101 bilangan
1)
10110 bilangan
2)
-------- +
110011
1100 bilangan
3)
-------- +
111111
11011 bilangan
4)
-------- +
1011010
1001 bilangan
5)
-------- +
1100011 Jumlah Akhir
Apakah benar
hasil penjumlahan tersebut?
11101 bilangan 1)
10110 bilangan 2)
1100 bilangan 3)
11011 bilangan 4)
1001 bilangan 5)
-----------+
1100011
Jumlah Akhir
Mari Buktikan dengan merubah biner ke desimal.
11101 = 29
10110 = 22
1100 = 12
11011 = 27
1001
= 9
-------------------- +
1100011 = 99
Sesuai!
PENGURANGAN
dalam BINER
Untuk memahami konsep pengurangan
biner, kita harus mengingat kembali perhitungan desimal (angka biasa), kita
mengurangkan digit desimal dengan digit desimal yang lebih kecil. Jika digit
desimal yang dikurangkan lebih kecil daripada digit desimal yang akan
dikurangi, maka terjadi “konsep peminjaman”. Digit tersebut akan meminjam 1
dari digit sebeleh kirinya.
Bentuk Umum pengurangan sebagai berikut :
0 – 0
= 0
1 – 0
= 1
1 – 1
= 0
0 – 1
= 1 Ă meminjam ‘1’ dari digit disebelah
kirinya
Contoh :
1111011 desimal 123
101001 desimal
41
----------
-
1010010
desimal 82
Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”.
Perhatikan contoh berikut!
0 kolom
ke-3 menjadi ‘0’, sudah dipinjam
111101 desimal
61
10010
desimal 18
--------
-
101011
Hasil pengurangan akhir 43
Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3,
karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2
Lalu bagaimana jika saya tidak dapat meminjam 1 dari
kolom berikutnya karena kolom tersebut berupa bilangan ‘0’?
Untuk membahasa hal itu mari kita beri bandingkan jika
hal ini terjadi pada bilangan desimal. Mari kita hitung desimal 800046 –
397261!
7999
8000146
3972 61
--------- -
4027 05
Perhatikan bahwa kita meminjam 1 dari kolom keenam
untuk kolom kedua, karena kolom ketiga, keemat dan kolom kelima adalah nol.
Setelah meminjam, kolom ketiga, keempat, dan kelima menjadi: 10 – 9 = 1
Hal ini juga berlaku dalam pengurangan biner, kecuali
bahwa setelah meminjam kolom nol akan mengandung: 10 – 1 = 1
Sebagai contoh pengurangan bilangan biner 110001–1010
akan diperoleh hasil sebagai berikut:
1100101
10 10
---------- -
1001 11
PERKALIAN dalam
BINER
Metode yang digunakan dalam perkalian
biner juga pada dasarnya sama dengan perkalian desimal, akan terjadi pergeseran
ke kiri setiap dikalikan 1 bit pengali. Setelah proses perkalian masing-masing
bit pengali selesai, dilakukan penjumlahan masing-masing kolom bit hasil.
Contoh :
1101
1011
---------x
1101
1101
0000
1101
--------------+
10001111
Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti pada
perkalian bilangan desimal. Sebagai contoh, untuk mengalikan
11102 = 1410 dengan 11012 = 1310 langkah-langkah yang harus ditempuh adalah:
Perkalian juga bisa dilakukan
dengan menambahkan bilangan yang dikalikan ke bilangan itu sendiri sebanyak bilangan
pengali.
Contoh barusan, hasilnya akan sama dengan jika kita
menambahkan 1112 ke bilangan itu sendiri sebanyak 1101 atau 13 kali.
PEMBAGIAN dalam
BINER
Serupa dengan perkalian, pembagian
pada bilangan biner juga menggunakan metode yang sama dengan pembagian desimal.
Bit-bit yang dibagi diambil bit per bit dari sebelah kiri. Apabila nilainya
lebih dari bit pembagi, maka bagilah bit-bit tersebut, tetapi jika setelah
bergeser 1 bit nilainya masih dibawah nilai pembagi maka hasilnya adalah 0.
Contoh :
Pembagian pada sistem bilangan
biner dapat
dilakukan sama seperti contoh pembagian sistem bilangan desimal. Sebagai
contoh, untuk membagi 110011 (disebut bilangan yang dibagi) dengan 1001
(disebut pembagi), langkah-langkah berikut yang perlu dilakukan.
1 0 1 Hasil
----------------
1 0 0 1 / 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1
--------------- -
0 0 1 1 1 1
1 0 0 1
----------- -
sisa 1 1 0
Sehingga hasilnya adalah 101, dan
sisa pembagian adalah 110.
Pembagian bisa juga dilakukan dengan cara menjumlahkan
secara berulang kali dengan bilangan pembagi dengan bilangan itu sendiri sampai
jumlahnya sama dengan bilangan yang dibagi atau setelah sisa pembagian yang
diperoleh lebih kecil dari bilangan pembagi.